KÄGELSNITT, eller KONISKA SEKTIONER.

Per Erik Strandberg, 18th November, 2006


Figure 1: A B. A phase


Contents

1  Förord och Licens

...hela världen fungerar ju så...

...hela världen fungerar ju så - som om den vore tänkt eller drömd av en gud som är matematiker. När molnen drar över himlen eller vågor slår mot stranden är det en räkneprocess som pågår, ett spelande med tal under sinnevärldens yta. Universum räknar fram banan för varje liten partikel i varje ögonblick, det räknar fram stjärnornas öden och livets historia, lekfullt men ändå kallt och likgiltigt, med en absolut, obönhörlig exakthet - så länge det inte finns ett medvetande som på ont eller gott ingriper i leken...
Peter Nilson, 1937-1998, författare och matematiker. Citat från “Rymdväktaren”.

Förord, 1998

Det är nu vår 1998, och på Rudbeckianska gymnasiet i Västerås gör samtliga avgångselever ett specialarbete. För min del var jag kluven inför valet av ämne. Det blev till slut “kägelsnitt”, ett område inom matematiken som tillämpas en hel del inom fysiken. Både matematik och fysik är ämnen som färgat sedan barnsben. Från att försöka formulera teser om bensinsnålhet “om bilen åker jättefort, hinner inte bensinen ta slut...” och andra tämligen naiva tankar så visade det på högstadiet att jag had fallenhet för matematik. Jag kom vidare till final efter kvalificeringstävlingen i matematik SM för högstadieungdom 1993/1994. Från att ha letat kryphål i räknetabellerna i mellanstadiet (jag lärde mig dem aldrig utantill...), till matematik SM, ett ganska långt kliv. När jag sedan åkte som utbytesstudent till Frankrike var valet av program rätt enkelt: Scientifique option maths (Naturvetenskapligt med matematiks inriktning). Matematik är och kommer vara något som mitt liv förmodligen färgas ordentligt av, så det är ingen slump att jag valt en liten fördjupning i detta ämne.

Jag stötte på detta kapitel första gången på matematikfördjupningen i Frankrike men då endast väldigt översiktligt och på väldigt kort tid. Därför ställde jag mig en hel del frågor som jag aldrig riktigt fick svar på. Det var främst oändlighetsproblem, om hur kurvorna skulle se ut om de korsades i öändligheten, och angående gränsfallen mellan ellips och parabel, och mellan parabel och hyperbel. Jag kommer ägna ett litet kapitel i slutet åt deta, om saker som inte står i vanliga matematikböcker eller lexikon.

Det är nog säkrast att jag nämner litet om mina beteckningar (på punkter, sträckor och liknande). När jag nämner två punkter F och F', så menar jag inte att F' är ett resultat eller en derivata av F, utan att de hör ihop på ett eller annat sätt. I fallet med brännpunkter så är inte F' sekundär, utan lika grundläggande som F. Det är det faktum att man möter många symmetrier som gör att väljer detta skrivsätt och det är ett lämpligt sätt att inte förväxla två punkter.

Per Erik Strandberg, Västerås, april 21, 1998.

Förord, 2006

Efter att tänkt mycket på mitt gamla exjobb och dessutom hittat en knappt påbörjad wikibok om kägelsnitt bestämde jag mig för att digitalisera mitt gamla specialarbete. Word-dokumentet jag skrev det i för snart 10 år sedan är sedan länge borta.

Per Erik Strandberg, Västerås, 18th November, 2006.

Licens (CC: Some Rights Reserved)

Detta dokument är publicerat enligt Creative Commons License, Attribution-Share Alike 2.5.

Kortfattat kan man säga att det innebär att du har rätt att:
  1. Kopiera, distribuera, visa och framföra detta verk.
  2. Vidareutveckla detta verk.
  3. Använda verket för kommersiella ändamål.
Med följande krav:
  1. Erkännande. Du måste nämna att originalverket är av mig: Per Erik Strandberg och att man hittar originalet på www.pererikstrandberg.se. (Om detta verk eller delar av det används i projekt liknande Wikipedia, WikiBooks eller andra fria och för var-och-en åtkomliga projekt räcker det med att érkännandet sker i kommentarer eller lämplig log.)
  2. Delar lika. Om du på något sätt ändrar eller vidarutvecklar detta verk har du endast rätt att publicera det med en licens identisk till denna. (Om detta verk eller delar av det används i projekt liknande Wikipedia, WikiBooks eller andra fria och för var-och-en åtkomliga projekt går även mer generösa licenser bra.)
  3. Vid all återanvändning och distribution måste du informera om licensvillkoren som gäller för verket.
  4. Undantag från dessa villkor kan meddelas av upphovsrättsinnehavaren. (Se parenterser ovan.)

2  Historia

Omkring 200 år före det att vår tideräkning startar fanns en lärljunge till Arkimedes som hette Apollonius från Perga. Han hade ett intresse för geometri och beskrev ellipsens, parabels och hyperbelns egenskaper. Han utgick från en cirkulär kon och skar den i olika vinklar. Beroende på hur man skar konen fick man en cirkel, en ellips eller en parabel. Han var systematisk i sitt arbete, och produkten blev "om koniska sektioner", ett verk omfattande åtta böcker.

(Det bör dock nämnas att både Eukelides och Menaichmos, lärljunge till Platon, ägnade sig åt kägelsnitt. Euklides behandlade kägelsnitten i fyra böcker, som tyvärr försvunnit eller förstörts.)

Troligen var Apollonius inte ute efter några som helst tillämpningar av dessa koniska sektioner, utan ville bara lekalite med dem, och han anade nog aldrig att detta inom astronomin skulle ha en stor betydelse, trots att han var intresserad även av detta.

Mer än 1800 år senare, i början av 1600-talet, kom dessa idéer att leda till en stor upptäckt. Tysken Johannes Kepler läste Apollonius skrifter som kommenterats av muslimska vetenskapsmän för att tilämpas inom optiken, och med den enorma mängd observationsmaterial den danske astronomen Tycho Brahe hade samlat kom Kepler att rubba en hel del cirklar. Planeternas banor var inte riktigt cirkulära och med hjälp av Apoloonius teorier om kägelsnitt drog Kepler slutsatsen att att banorna ska beskrivas som ellipser och inte som cirklar.

Senare samma århundrade införde René Descartes och andra matematiker ett rätvinkligt koordinatsystem i kägelsnitten, detta gjorde att man kunde beskriva dessa geometriska figurer ned siffror och bokstäver. I koordinatsystem kunde nu både kända och okända geometriska figurer enkelt ritas och analyseras med hjälp av andragradsekvationer.

På 1700-talet fortsatte Gottfried Wilhelm Leibniz och Isaac Newton i samma bana och utvecklade matematiken, även inom detta område, med hjälp av differential- och integralkalkylen.

Nu för tiden tillämpas kägelsnitt främst inom fysiken (för fortsatta studier i matematik är kägelsnitten tänligen ointressanta), inom bland annat optiken, dynamiken (kast-“parablar”) och astronomin.

3  Från kägelsnitt till tre definitioner

3.1  Konen, generatrisen, axeln och cirkeln

För att nu få lite inblick i definitionerna på ellipsen, hyperbeln och parabeln så börjar vi om från början.

Om vi först tänker oss två raka, oändligt långa linjer som skär varandra i en punkt, punkten S. Vi kallar vinkeln mellan dem för u och låter den ena linjen rotera kring den andra med den konstanta vinkeln u. Den fasta linjen blir då figurens axel, och den som roterar kallar vi för generatris. Den skapar (genererar) en konisk yta, som vi kan kalla K, med två mantelytor. Ytans spets kallar vi punkten S.

Vi låter nu ett plan P rätvinkligt skära axeln i en punkt som ej är S. Snittkurvan från den koniska ytan på planet är då en cirkel (vi får radien SM⋅ sin(u) = konstant, om M är en punkt på snittkurvan). Vi kan kalla (den minsta) vinkeln mellan axeln och planet v.

Vi ska nu se vad som händer om v inte är en rät vinkel...

3.2  Ellipsens definition

Om v > u fås: P skär endast den ena mantelytan. Om P inte går genom S fås en snittfigur som inte är punktformad.

Vi tänker oss två sfärer, S1 och S2, med mittpunkter på axeln. Vi tänker oss dem så stora att de tangerar insidan av K och på ett sådant avstånd att de inte tangerar varandra. Tangeringsytorna mellan S1, S2 och K är då två cirklar, med mittpunkter på axeln och vinkelräta till axeln. Vi tänker oss nu att P införs mellan S1 och S2 så att P tangerar S1 i F och S2 F'. Vi betraktar nu en godtycklig punkt, M, på snittkurvan. Vi tänker oss nu den generatris som går genom M och de skärningspunkter i vilka generatrisen tangerar S1 och S2 för N och N'. Vi inser att FM = NM då de från en punkt dragna tangenterna till en sfär är lika långa. På samma sätt inser vi att F'M = N'M. Alltså: FM + F'M = NM + N'M = NN', eftersom N, M och N' ligger på samma generatris (samma räta linje), eller FM + F'M = NN' = konstant.

Vi döper denna samling snittytor för vilka v > u ellipser och definierar: En ellips är den geometriska orten för punkter vars avstånd till två givna punkter har en konstant summa.

3.3  Parabelns definition

Om v = u fås: P skär ena mantelytan (om P inte skär K i S). Det finns bara en inskriven sfär S1, med mittpunkt i axeln och en tangeringspunkt mellan P och S1 som vi kan kalla F. I S1's tangeringscirkel med med K lägger vi planet P'. Axelns skärningspunkt i P kallar vi A. Vi förlänger AF och får en skärningspunkt i K: B och en med P': H. Vi får en skärningssaxel mellan P och P'. Vi kallar en godtycklig punkt på P och K's snittkurvan för M. Vi skapar en punkt L så att den tillhör P och P', så att ML blir parallell mot AH, för alla L (flyttar vi på M flyttar vi även på L). Vi drar generatrisen SM och linken MF. Sm skärP' och tangerar S1 i punkten N. Vi inför ett till plan P” så att P” är parallellt med P' och så att M tillhör P”. Vi kan säga att P” är en funktion av M. Vi drar generatrisen som är parallell med P, vi kallar skärningspunkterna med P' R' och P” och R”. Då får vi MF = MN då detta är två tangenter från M till S1. Vi inser att MN = R'R” då detta är delar av två parallellt stympade generatriser. Således R'RR” = AH = ML ty parallella linjer mellan parallella plan.

Slutsatsen blir att MF = ML.

Vi definierar denna samling snittkurvor, parablar, på följande sätt: En parabel är den geometriska orten för punkter vars avstånd till en given punkt och en rät linje är lika.

3.4  Hyperbelns definition

Om v < u får vi: P skär båda mantelytorna. Vi drar en rät linje, ett axelsnitt, genom P som är en, mot P, vinkelrät projicering av axeln. Axelsnittet skär snittkurvan på P i B och C. Vi inskriver två sfärer, S1 och S2, i K, som tangerar P i F och F'. Vi kallar en godtycklig punkt på snittkurvan för M och drar den generatris som går genom M. Denna generatris skär tangerinscirklarna för sfärerna i N och N'.

Nu får vi MF = MN ty tangenter från samma punkt till samma sfär. MF' = MN' av samma anledning. Följaktligen: MF' - MF = Mn' - MN = NN' ty M, N och N' tillhör samma generatris och NN' = konstant.

Vi kallar figuren på snittytan hyperbel och ger den definitionen: En hyperbel är den geomertiska orten för punkter vars avstånd till två givna punkter har en differens som är konstant.

3.5  Sammanfattning

En ellips är den geometriska orten för punkter vars avstånd till två givna punkter har en konstant summa.

En parabel är den geometriska orten för punkter vars avstånd till en given punkt och en rät linje är lika.

En hyperbel är den geomertiska orten för punkter vars avstånd till två givna punkter har en differens som är konstant.

Namner är grekiska och Appolonius är upphovsmakaran till dem: ellips (underskott), parabel (överenstämmelse) och hyperbel (överskott).

4  Från definition till ekvation

4.1  Ellipsens ekvation

Ellipsens ekvation: En ellips är den geometriska orten för punkter vars avstånd till två givna punkter har en konstant summa.

Vi inför lite benämningar för att lättare kunna arbeta med ellipsen: Brännpunkerna kallar vi F och F'. Vi döper mittpunkten till FF' O (som i Origo). En godtycklig punkt på ellipsen kallar vi M. Vi döper brännpunktsradierna p och q. Så att p = MF och q = MF'. Storaxel (eller transversal axel) kallar vi den längsta linje från två punkter på ellipsen som går genom O. Storaxeln går därför genom F och F'. Vi ger storaxeln längden 2a, och kallar ändpunkterna A och A' (som även kallas ellipsens vertex). Om vi tittar på specialfallet på M sammanfaller med A inser vi att p + q = 2a.

Lillaxeln, eller konjugataxeln, är den kortaste linje från två punkter på ellipsen genom O. Lillaxel ligger på mittpunktsnormalsen till FF' och vi ger den längden 2b. Ändpunkterna kallar vi B och B'. Sträckan FF' (fokaldistansen) kallar ger vi längden 2c.

Om vi nu betraktar specialfallet då M sammanfaller med B fås p = q = a och enligt Pythagoras sats
  a2 = b2 + c2     (1)
Alltså känner vi en ellips' alla egenskaper om vi känner minst två av sträckorna a, b och c.

Vi inför ett koordinatsystem för att få en lätthanterlig algebraisk form. Vi inför, som x-axel, den räta linje som skär brännpunkerna. Y-axel blir brännpunkternas mittpunktsnormal.

Med Pythagoras sats får vi:
  p2 = (x+c)2 + y2     (2)
och
  q2 = (x−c)2 + y2.     (3)
Vi subtraherar och får p2 − q2 = 4cx, men (p+q)(p−q)=p2−q2, och p+q=2a och alltså:
(p−q) =
2cx
a


Vi döper c/a = e (excentricitet). Vi inser att, för en ellips, är e större än noll, men mindre än ett. Då e går mot noll blir vå ellips mer och mer lik en cirkel och då brännpunkterna sammanfaller har vi en cirkel (se definition ovan). Om e går mot ett kommer c att närma sig a, och BB'/AA' går mot noll blir vår ellips mer och mer platt. Till slut sammanfaller B och B', vi har bara en sträckan AA'.

Vi har alltså p + q = 2a och p − q = 2ex. Vi subtraherar respektive adderar och får
  p = a + ex     (4)
och
  q = a − ex     (5)
som tillsammans med (2) och (3) ger:
p2 + q2 = (x+c)2 + y2 + (x−c)2 + y2 = 2x2 + 2y2 + 2c2.
Eliminerar vi vänsterledet med hjälp av (4) och (5) enligt:
p2+q2 = (a+ex)2 + (a−ex)2 = (a+
cx
a
)2 + (a−
cx
a
)2
så får vi
x2 + y2 + c2 = a2 +
c2x2
a2
som med förlängning med a2 ger
x2(a2 − c2) + a2y2 = a2(a2 −c2).
Vi förenklar med hjälp av (1): b2 = a2 − c2 så vi får
x2b2 + a2y2 = a2b2
som efter division med a2b2 ger
 
x2
a2
+
y2
b2
= 1     (6)


Tydligen kan en ellips beskrivas med ekvation (6). En trevlig formel att jobba med.

4.2  Parabelns ekvation

Parabelns definition: En parabel är den geometriska orten för punkter vars avstånd till en given punkt (brännpunkten) och en given rät linje (styrlinje) har en konstant summa.

Vi inför ett koordinatsystem med en x-axel som är vinkelrät till styrlinjen och som går genom F. Y-axeln sätts som mittpunktsnormal till F och parabelns vertex (som vi kallar A). Precis som tidigare kallar vi en godtycklig punkt på kurvan M. Vi kallar, så som för ellipsen, de två avstånden i fråga p och q. Avståndet mellan styrlinjen och M kallar vi p, avståndet FM blir då q. Vidare kallar vi avståndet AF för a, så att det minsta avståndet mellan vertex och styrlinjen blir 2a så att vi får:
p = x + a
q2 = (x−a)2 + y2
Från parabelns definition inser vi kvickt att p = q så att
(x+a)2 = (x−a)2 + y2
eller efter lite förenkling:
  y2 = 4ax     (7)
Tydligen kan parabeln helt enkelt beskrivas som andragradsfunktionen i (7).

Parabels excentricitet är inte lika lätt att bestämma som ellipsens, så den behandlas först i ett senare kapitel.

4.3  Hyperbelns ekvation

Hyperbelns definition: en hyperbel är den geometriska orten för punkter vars avstånd till två givna punkter (brännpunkterna) har en differens som är konstant.

Vi döper brännpunkterna F och F'. Avståndet mellan F och F' ger vi värdet 2c. Vi inför ett koordinatsystem med en x-axeln genom F och F' och en y-axel som mittpunktsnormal till FF'. En godtycklig punkt på hyperbeln kallar vi M. Hyperbelns vertex döper vi A och A'. Sträckan AA' ger vi värdet 2a. Vi tänker oss ett imaginärt tal b så att b = √a2 − c2 (att b är ett imaginärt tal framgår av att c är större än a). Vi döper avståndet MF p och MF' p.

Excentriciteten (e = c / a) måste vara större än 1 eftersom brännpunkterna ligger längre från origo än hyperbelns vertex.

Vi betraktar nu specialfallet då M sammanfaller med A eller A'. Vi inser att:
  p − q = 2a     (8)
Dessutom, enligt Pythagoras sats:
p2 = (x + c)2 + y2
och
q2 = (x − c)2 + y2,
som i kombination med (8) ger
  ±√
(x + c)2 + y2
+ ∓√
(x − c)2 + y2
= 2a.     (9)
Vi flyttar över ena roten och kvadrerar:
(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x − c)2 ± 4a √
(x − c)2 + y2
   ⇔   
cx−a2
a
= ± √
(x − c)2 + y2
Efter ytterligare en kvadrering fås...
(
cx
a
− a)2 = (x − c)2 + y2
...som efter utveckling ger...
c2x2
a2
+ a2 = x2 + c2 + y2
...som efter förlängning med a2 ger...
c2x2 + a4 = a2x2 + a2c2 + a2y2    ⇔    x2(c2−a2) − y2a2 = a2(c2−a2).
Nu får vi användning av b = √a2 − c2 så att b2 = a2 − c2 men även att b2 = c2 − a2 ty samma absolutvärde. Vi får då:
x2b2 − y2a2 = a2b2
som efter division med a2b2 ger
 
x2
a2
−
y2
b2
= 1,     (10)
som tydligen är ekvationen för en hyperbel. Vi ser att endast tecknet skiljer (6) från (10).

4.4  Sammanfattning

Vi har funnit tre ekvationer för våra tre kägelsnitt:
(6)    x2/a2 + y2/b2 = 1
(7)    y2 = 4ax
(10)    x2/a2 − y2/b2 = 1

5  Mer om kägelsnitten: tangenter och specialfall

6  Angående oöndligheten och kägelsnitten

7  Slutord

7.1  Slutord, 1998

Jag har alltså i detta specialarbete visat att parabel är en halv ellips, och att hyperbeln i oändligheten kan anses vara fortsattväxande, något jag gått och grubblat på i nästan ett år. Men under arbetets gång visade det sig att jag var tvungen att söka upp litteratur från 1940-talet för att hitta härledningar till kägelsnittens definitioner, något som förvånade mig.

Slutligen vill jag tacka lektor Bengt Diehl för lånet av litteratur och de tips och råd han gett mig; tack till P3, Front242, And One, Nick Cave and the Bad Seeds, the Sisters of Mercy, Kraftwerk, Page och Depeche Mode för den rogivande bakgrundsmusiken; ett tack till mina föräldrar för kaffe och mat, mest för kaffet; och ett stor tack till Carin Thorén, min handledare, som hjälpt mig med korrektur och handledning av detta arbete.

7.2  Slutord, 2006

Några ytterligare tack måste riktas till människorna bakom LaTeX och HeVeA som gör det så enkelt och smidigt att skriva matematisk text i olika format; Ingyu Kang förtjänar ett tack för Crimson Editor; samt ett tack till dig som läser denna text och kanske vidare utvecklar den.

Om du tyckte att det var bra att denna text fanns tillgänglig för dig kanske du bör överväga att donera till mitt PayPalkonto för att uppmuntar mig att tillhandahålla mer av mina projekt i digitalt format.

8  Källhänvisning

Källhänvisningen är sorterad efter publiceringsår.
This document was translated from LATEX by HEVEA.